次线性 Higson 王冠与 Lipschitz 扩张

本文的目的是通过函数的 Lipschitz 扩张来刻画 $X$ 的次线性 Higson 王冠 $\nu_L(X)$ 的维数：定理：设 $(X,d)$ 是一个真度量空间。$X$ 的次线性 Higson 王冠 $\nu_L(X)$ 的维数是满足如下性质的最小整数 $m\ge 0$：任意保范数渐近 Lipschitz 函数 $f'\colon A\to \R^{m+1}$，$A\subset X$，都可扩张为保范数渐近 Lipschitz 函数 $g'\colon X\to \R^{m+1}$。人们应将其与 Dranishnikov \cite{Dr1} 的结果进行比较，后者刻画了 $X$ 的 Higson 王冠 $\nu(X)$ 的维数是最小整数 $n\ge 0$，使得 $\R^{n+1}$ 是渐近范畴 $\AAA$ 中 $X$ 的绝对扩张子（即任意恰当渐近 Lipschitz 函数 $f\colon A\to \R^{n+1}$，$A$ 在 $X$ 中闭，都可扩张为恰当渐近 Lipschitz 函数 $f'\colon X\to \R^{n+1}$）。\par 在 \cite{Dr1} 中 Dranishnikov 引入了范畴 $\tilde \AAA$，其对象是带基点的真度量空间 $X$，态射是渐近 Lipschitz 函数 $f\colon X\to Y$，满足存在常数 $b,c > 0$ 使得对所有 $x\in X$ 有 $|f(x)|\ge c\cdot |x|-b$。我们证明 $\dim(\nu_L(X))\leq n$ 当且仅当 $\R^{n+1}$ 是范畴 $\tilde\AAA$ 中 $X$ 的绝对扩张子。\par 作为一个应用，我们重证了 Dranishnikov 与 Smith \cite{DRS} 的如下结果：定理：设 $(X,d)$ 是有限渐近 Assouad-Nagata 维数 $\asdim_{AN}(X)$ 的真度量空间。若 $X$ 是余紧且连通的，则 $\asdim_{AN}(X)$ 等于 $X$ 的次线性 Higson 王冠 $\nu_L(X)$ 的维数。