N^{m} x N^{m} 平均密度矩阵的 SU(N) x S_{m}-不变特征子空间
摘要
我们将 Krattenthaler 与 Slater (quant-ph/9612043) 近期某些结果推广到附加的概率测度与场景,其原始动机是获得 Clarke 与 Barron 关于通用数据压缩开创性工作的量子类比。KS 通过对 2 x 2 密度矩阵与其自身的 m 重张量积取平均,导出了 2^m x 2^m 密度矩阵的特征值与特征向量的显式公式。加权是依据一族单参数 (u) 概率分布进行的,其所有成员在两能级量子系统的“Bloch 球”上都是球对称的 (SU(2)-不变的)。当 u = 1/2 时,得到极小单调 (Bures) 度量的归一化体积元。本文进行了与 KS 平行的分析,基于 Zyczkowski、Horodecki、Sanpera 与 Lewenstein (quant-ph/9804024) 最近提出的密度矩阵上另一种“自然”测度。发现 KS 方法与基于 ZHSL 的方法给出 [1 + m/2] 个相同的 SU(2) x S_{m}-不变特征子空间(但对于 m > 3 特征值不重合)。基于 ZHSL 测度的 SU(3) 形式,获得了针对 3 x 3 密度矩阵的二重与三重张量积的相应结果。我们发现了一种相当显著的极限过程(选择定则),可从这些分析中恢复出由两或三个粒子构造的 SU(3) 的(置换对称化)多重态。我们还分析了若干场景(均为 m = 2):N = 2 x 3、N = 2 x 3 x 2、N = 3 x 2 x 2 以及 N = 4,并进一步推广了 ZHSL 测度,使其包含定义于特征值 (N-1) 维单纯形上的一族(对称)Dirichlet 分布(而非仅仅是均匀分布)。
引用
@article{arxiv.quant-ph/9806089,
title = {SU(N) x S_{m}-Invariant Eigenspaces of N^{m} x N^{m} Mean Density Matrices},
author = {Paul B. Slater},
journal= {arXiv preprint arXiv:quant-ph/9806089},
year = {2007}
}
备注
15 pages, LaTeX, single figure; we correct a small but systematic error in our N = 3, m = 3 analysis, leading to a much simpler set of results. Also, we have added a section (the penultimate one) entitled, "Parameterized Families of N^{m} x N^{m} Mean Density Matrices", having observed that the choice by Zyczkowski et al (quant-ph/9804024) of a uniform distribution over the (N-1)-dimensional simplex spanned by the eigenvalues is somewhat arbitrary in nature, and can be replaced by any member of a family of (symmetric) Dirichlet distributions