二维球面 $\mathbb{S}^2$ 上可压缩欧拉方程的冲击形成

本文在二维球面 $\mathbb{S}^2$ 上证明了可压缩欧拉方程的有限时间冲击形成。与平坦欧几里得平面 $\mathbb{R}^2$ 不同，$\mathbb{S}^2$ 的几何构成了新挑战，流体动力学受到曲面背景的影响。为克服这些挑战，我们修改现有的调制方法，采用一套精确跟踪 $\mathbb{S}^2$ 上冲击形成的时变坐标。具体而言，我们首先对 $\mathbb{S}^2$ 进行时变旋转，然后应用立体投影将球面展开，直化变窄的冲击前端，最后构建冲击适应坐标。在冲击适应坐标中，可压缩欧拉方程在 $\mathbb{S}^2$ 上可被重塑为适合自相似分析的形式。在该框架下，我们实施详细的引导论证，建立自相似系统的全局良定性。随后将这些结果转换回原始物理系统，从而在 $\mathbb{S}^2$ 上证明了有限时间冲击形成。