稠密与稀疏随机图的结构与噪声：基于 EM 算法与非回溯谱的渗流随机块模型

本综述论文阐述了针对无权重图的谱聚类方法如何适应稠密与稀疏两种情形。基于 Laplacian 与模块度的谱聚类适用于稠密图，而近期结果表明，对于稀疏图，非回溯谱是寻找节点同配聚类的首选。此处推导了稀疏随机块模型中具有任意给定模型参数的置信传播，得到一个非线性方程组；通过线性近似，非回溯矩阵的特征谱能够确定聚类数 $k$。随后模型参数本身可由 EM 算法估计。在同配模型中从以下两方面考虑键渗流：簇内与簇间边概率随节点数增加而下降，并以概率 $\beta$ 保留以此方式产生的边。因此，最优 $k$ 是非回溯矩阵的结构实特征值个数（大于 $\sqrt{c}$，其中 $c$ 为平均度）。假设这些特征值 $\mu_1 >\dots > \mu_k$ 互异，关于 $\beta$ 得到的多重相变为 $\beta_i =\frac{c}{\mu_i^2}$；此外，在 $\beta_i$ 处可检测聚类数为 $i$，$i=1,\dots ,k$。还讨论了胀缩技术以对节点本身分类，其可作为稀疏谱聚类的基础。给出了仿真结果及真实示例。