具有正则互连的相互依赖网络中的结构相变

网络常由若干表现出不同互依赖程度的层构成。多层相互依赖网络由一组图$G$组成，这些图通过加权互连矩阵$B$相互连接，其中每条图间连边的权重为非负实数$p$。诸多动力学过程，如同步、电网中的级联故障以及扩散过程，均由刻画整个系统的拉普拉斯矩阵$Q$描述。对于多层图为多重图的情形（每层节点数相同且互连矩阵$B=pI$，其中$I$为单位矩阵），已证明在某个临界耦合$p^*$处存在结构相变。该相变使得动力学过程分为两种 regime：若$p > p^*$，网络作为一个整体运作；而当$p<p^*$时，网络如同编码各层的图彼此隔离般运作。本文中，我们将结构相变阈值$p^*$扩展并推广到正则互连矩阵$B$（行和与列和均为常数）。具体而言，我们给出了具有正则互连矩阵$B$的相互依赖网络中相变阈值$p^*$的上界与下界，并利用商图形式化方法推导了特殊情形下的精确相变阈值。此外，我们从最小割的角度讨论了相变阈值$p^*$的物理意义，并通过反例表明结构相变并非总存在。我们的结果向刻画更现实的多层网络迈进了一步，并可能与偏离多重网络拓扑约束的系统相关。