更强的韦恩边界与最优近似 $k$-设计

一个基本问题询问纯量子态有限集合在 Hilbert 空间中如何均匀分布。韦恩边界回答了这个问题，而 $k$-设计（即再现第 $k$ 阶 Haar 矩的状态集合）饱和了这些边界。然而，当状态数量低于实现精确 $k$-设计所需数量时，这些边界很快变得不够信息。我们推导了利用部分转置秩约束和部分转置 Haar 矩算子光谱特性得到的强化韦恩型不等式，这些不等式在该 regime 下保持尖锐。我们证明，偏离韦恩边界捕捉平均-case 近似误差，从而在固定基数下 characterizes 一种自然的最小可实现误差。对于 $k=3$，我们证明 SIC 和完整 MUB 集合饱和我们的边界，使其成为其基数的最优近似 3-design。这是一种自然的变分准则，用于排除完整 MUB 集合的存在，我们利用此准则获得了在维数 6 中此类集合存在的numerical证据。作为关键技术要素，我们计算了部分转置对称子空间投影器的完整谱，包括奇偶性和特征向量，这可能的应用远超当前工作。