等纠缠互无偏基、对称量子测量与混合态设计

希尔伯特空间中的离散结构在为量子测量寻找最优方案方面起着关键作用。我们解决了四维空间中是否存在一组完整的五个等纠缠互无偏基的问题，给出了显式的解析构造。构成该广义量子测量的这$20$个纯态的约化密度矩阵形成一个内接于半径为$\sqrt{3/20}$的球的正十二面体，该球位于半径为$1/2$的布洛赫球内部。这样的集合构成一个混合态$2$-设计——一组离散的量子态，其性质是密度矩阵任意二次函数的均值等于关于平坦的希尔伯特-施密特测度在整个混合态集合上积分的值。我们建立了混合态设计需满足的充要条件，并给出了构造它们的一般方法。此外，我们证明复合希尔伯特空间中投影设计的偏迹形成混合态设计，而投影设计元素的退相干在经典概率单纯形中产生设计。我们确定了一个特殊的两量子比特正交基，使得四个约化态在布洛赫球内均匀分布并构成混合态$2$-设计。