一般局部环上 $2\times 2$ 矩阵环的强清洁性

若环 $R$ 中每个元素均可表示为一个单位元与一个幂等元之和，且二者可交换，则称 $R$ 为强清洁环。Borooah、Diesl 和 Dorsey \cite{BDD05a} 的最新结果完全刻画了使得 ${\mathbb M}_n(R)$ 为强清洁环的交换局部环 $R$。然而，对于一般局部环 $R$ 且 $n>1$ 的情形，矩阵环 ${\mathbb M}_n(R)$ 何时为强清洁环尚属未知。本文完全确定了使得 ${\mathbb M}_2(R)$ 为强清洁环的局部环 $R$。