曲面上框架的应力矩阵与全局刚性

2005 年，Bob Connelly 证明了若 $\bR^d$ 中的通用框架具有最大可能秩的应力矩阵，则该框架是全局刚性的，并且这一通用全局刚性的充分条件在 1-扩展操作下保持不变。他的结果为平面中通用全局刚性的刻画迈出了关键一步。我们将这些结果推广到 $\bR^3$ 中曲面上的框架。对于同轴圆柱面、锥面或椭球面族上的框架，我们证明了存在一种自然的曲面应力矩阵，它源于为框架分配边和顶点权重并在每个顶点处达到平衡。对于圆柱面和椭球面，我们证明了拥有最大秩应力矩阵足以保证曲面上的通用全局刚性。随后，我们证明了这一通用全局刚性的充分条件在 1-扩展下保持不变，并利用这一结果在刻画圆柱面上通用全局刚性的问题上取得了进展。