利用边值法求解分数阶扩散方程的 Strang 型预条件子

采用带有移位 Gr"{u}nwarld 公式的有限差分方案对分数阶扩散方程进行半离散化。这种空间离散化可简化为具有初值的大规模常微分方程组（ODEs）。近年来，边值法（BVM）已发展成为求解大规模 ODEs 的一种流行算法。该方法需要求解一个或多个非对称、大规模且稀疏的线性方程组。本文提出了带有块循环预条件子的 GMRES 方法来求解这些线性方程组。主要结果之一是：如果将 $A_{\nu_1,\nu_2}$-稳定的边值法用于 $m\times m$ 的 ODEs 系统，则该预条件子是可逆的，且预条件矩阵可分解为 $I+L$，其中 $I$ 是单位矩阵，$L$ 的秩至多为 $2m(\nu_1+\nu_2)$。这意味着当应用 GMRES 方法求解预条件线性方程组时，该方法最多在 $2m(\nu_1+\nu_2)+1$ 次迭代内收敛。最后，报告了大量的数值实验以说明我们方法在求解分数阶扩散方程方面的有效性。