通过谱倍增求解含半拉普拉斯算子对流扩散方程的预条件边界值方法

本文研究了一个包含由 Riesz 分数阶拉普拉斯算子导出的半拉普拉斯算子并与微分算子 $\mathcal{L}$ 结合的发展方程。利用恒等式 $(-\Delta)^{1/2}=\mathcal H(\partial_x)$，我们引入了谱倍增 重构，将原始半扩散方程转化为一阶倍增系统。重构后的系统表现出稳定和不稳定谱分支，而原始的半扩散动力学在由初始条件的相容性条件表征的适当稳定不变子空间上得以恢复。SD 重构提供了实际的数值优势：半拉普拉斯算子仅应用于初始条件和源项，避免了时间推进过程中对奇异积分的重复求值。对于所得的整数阶系统，我们开发了一种边界值方法 (BVM) 并研究了二阶广义中点格式。我们建立了其稳定性和二阶时间收敛性。全离散格式导出了一个大型 Kronecker 结构线性系统，该系统通过带有块 $\omega$-循环预条件子的 GMRES 高效求解。在空间离散矩阵可同时对角化的条件下，该预条件子可通过快速离散变换高效实现。针对三个发展模型的数值实验证实了理论收敛结果，并证明了所提出方法的鲁棒性和效率，包括在强对流状态下。实验还表明，当数值计算 Hilbert 变换时该方法仍然有效，并说明了 SD 框架对非局域薛定谔型示例的适用性。