未知赔率下的末次成功停止：不可能性障碍与定量oracle界

我们考虑齐次设定下序列伯努利试验的经典末次成功问题，其中 $X_1,\ldots,X_n$ 为独立同分布的 $\mathrm{Bernoulli}(p)$，但成功概率 $p\in(0,1)$ 对决策者未知。当 $p$ 已知时，Bruss的求和-赔率定理给出一个最优阈值规则，其值为 $V_n(p)$。我们研究一种自然的免oracle插件规则，用在线经验估计 $\hat p_t$ 替代 $p$，并记其获胜概率为 $W_n(p)$。首先，我们通过状态概率的递归推导了 $W_n(p)$ 的精确表达式，使其能够与 $V_n(p)$ 进行显式比较，并揭示了插件规则与oracle性能之间的有限时间分离。接下来，我们形式化了未知-$p$ 表述中固有的第一个决策论障碍：对于每个固定的 $n\ge2$，$p$-盲（可能随机化的）规则上的优势偏序不存在最大元。然后我们识别了oracle自由性可实现且具有紧界值的区域。对于任意 $p_0\in(0,1)$，我们在 $[p_0,1)$ 上建立了有限时间oracle界，并证明了对 $p_0\in(0,\tfrac 12)$ 存在阶为 $1/\sqrt{n}$ 的匹配极小极大下界（较大的 $p_0$ 值不允许非平凡的下界）。我们还证明了对任意固定的 $p$，该速率是指数的。在稀疏区域中 $p=p_n\to0$ 且 $np_n\to\infty$，我们证明了插件规则的渐近oracle最优性，即 $V_n(p_n)-W_n(p_n)\to0$。结合我们的非稀疏界，这提供了一个广泛的均匀收敛保证，我们证明该保证不能扩展到临界区域 $p\asymp 1/n$。最后，我们建立了另一个不可能性障碍：即使允许随机化，也不存在任何免oracle规则序列能在 $p\in(0,1)$ 上一致收敛到oracle值。