对称正定材料张量的随机建模

空间对称性与不变性在材料行为中起着重要作用，应在材料性质的描述与建模中予以尊重。这里的重点是物理对称且正定的张量类，因为它们常出现在材料描述中，并且人们希望能够为整个系综的每个成员规定某些类别的空间对称性与不变性，同时要求该系综的均值或期望值服从可能“更高”的空间不变性类。我们构建了一个建模框架，不仅满足正定性与不变性这两项要求，还允许一方面对取向、另一方面对强度/大小进行精细控制。由于正定张量的集合不是线性空间，而是物理对称张量线性空间中的一个开凸锥，我们认为将均值的概念推广到度量空间上的所谓 Fréchet 均值是有利的，其基于正定张量之间除通常欧氏距离以外的距离度量或度量。文中展示了如何通过无记忆变换的李代数表示，将随机系综在其缩放与取向或方向方面独立地建模与生成。描述该李代数中元素的参数随后被视为感兴趣区域上的随机场。作为一个例子，对人体股骨（一种具有高材料各向异性的骨骼）的稳态热传导建立了二维与三维模型，采用随机热导率张量，数值结果表明在 constitutive 模型中纳入不同的材料不确定性——缩放、取向与规定的材料对称性——对目标量有显著影响。