任意空间维度下无线性色散的随机 CGL 方程

我们考虑随机 CGL 方程 $$\dot u- \nu\Delta u+(i+a) |u|^2u =\eta(t,x),\;\;\; \text {dim} \,x=n,$$ 其中 $\nu>0$ 且 $a\ge 0$，定义在具有 Dirichlet 边界条件的立方体（或光滑有界域）中。力 $\eta$ 在时间上是白噪声，在空间 $x$ 上正则且非退化。我们在连续复值函数 $u(x)$ 空间中研究该方程，并证明对于任意 $n$，它在该空间中定义了一个唯一的混合 Markov 过程。因此，对于一大类泛函 $f(u(\cdot))$ 和任意解 $u(t,x)$，平均可观测量 $\E f(u(t,\cdot))$ 收敛于一个与初始数据 $u(0,x)$ 无关的量，该量等于 $f(u)$ 对该方程唯一平稳测度的积分。