搅拌两粒沙

考虑边长为 $r$ 的 $d$ 维平环面中的两个单位球，其中 $d\geq 2$。这些球自身不移动，但受布朗运动推动。球体永不相交——若接触则发生反射。已证明，假设使用适当的时钟和适当的缩放，当 $r\to \infty$ 时，代表球心的过程的联合分布收敛于两个独立布朗运动的分布。极限过程的扩散系数取决于维度。球的位置在以下意义上也是渐近独立的：当 $r\to\infty$ 时，球心的重缩放平稳分布收敛于每个球单独的平稳（因此是均匀）分布的乘积。