面向正关联随机变量的 Stein 方法及其在 Ising 模型、选民模型、键渗流与接触过程中的应用

我们针对 $\mathbb{Z}^d$ 中统计物理和粒子系统的四个著名模型给出了到正态分布的非渐近 $L^1$ 界；铁磁最近邻 Ising 模型、超临界键渗流模型、选民模型和接触过程。在 Ising 模型中，当磁矩参数非零时，以及当逆温度低于临界且磁矩参数为零时，我们得到了总磁化强度与正态分布之间的 $L^1$ 距离界。在渗流模型中，我们对 $d \ge 2$ 维属于无限簇的有限区域内点总数得到了这样的界；在选民模型中针对 $d \ge 7$ 维原点的占据时间；以及对始于其唯一不变分布的一维超临界接触过程上求值的非常数递增柱函数的有限时间积分。为此目的开发的工具是适应于正关联随机变量的 Stein 方法的一个版本。在一维情形，令 $\boldsymbol{\xi}=(\xi_1,\ldots,\xi_m)$ 为正关联零均值随机向量，其分量满足界 $|\xi_i| \le B, i=1,\ldots,m$，且其和 $W = \sum_{i=1}^m \xi_i$ 方差为 1，则有 $$d_1 \left(\mathcal{L}(W),\mathcal{L}(Z) \right) \leq 5B + \sqrt{\frac{8}{\pi}}\sum_{i \neq j} \mathbb{E}[\xi_i \xi_j]$$ 其中 $Z$ 为标准正态分布，$d_1(\cdot,\cdot)$ 为 $L^1$ 度量。我们的方法适用于多维情形，其中 $L^1$ 度量被光滑函数度量替代。