云存储系统中若干负载均衡机制的稳态行为

在大型存储系统中，文件常跨多个服务器编码以提高可靠性与检索速度。我们考虑由 $n$ 台服务器组成的系统，采用最大距离可分码（见 \cite{li2016mean}）存储文件。具体而言，每个文件被等分为若干片，存于 $L$ 台服务器上，使得任意 $k$ 片均可重建原文件。文件请求使用批量采样路由方案进行调度：即当收到某文件请求时，集中式调度器将该任务路由至对应服务器含有所请求文件片的 $L$ 个队列中 $k$ 个最短队列。我们研究此类负载均衡机制的长时间行为。特别地，我们证明了描述占用测度过程平均场极限的 ODE 系统具有唯一且稳定的不动点。该不动点对应于 $\mathbb{N}_0$ 上队列长度分布，其尾部以超指数衰减。我们给出了衰减率的上下界。最后，我们证明马尔可夫占用测度过程的唯一不变测度收敛于集中在 ODE 系统唯一不动点处的狄拉克测度，从而确立了 $t\to\infty$ 与 $n\to\infty$ 极限的可交换性。