标记个体的超越次数统计

我们考虑一维无限格点，其中每个格点坐着一个携有速度的个体，各体速度初始时独立地从同一分布抽取。该系统作为马尔可夫过程演化：仅当左邻格点个体速度更高时，相邻格点一对个体以规定速率交换位置而保持各自速度。我们研究在给定时长 t 内标记个体 m(t) 的净位移统计，针对两类不同速率：其一，位于 i 与 i+1 的个体对以速率 1 交换位置，与邻体速度差无关；其二，个体对以其相对速度作为速率交换位置。两种情形下，我们发现大 t 时 m(t)∼t。第一种情形中，对随机选取个体，t→∞ 极限下 m/t 在 [-1,1] 上均匀分布，对任意连续速度分布皆然。第二种情形中，分布由速度分布本身给出，并作相对于平均速度的伽利略平移。我们还求得趋近极限形式的大时间行为并与数值模拟比较。相反，若速度交换以单位速率发生，与速度值无关且不论谁更快，则大 t 时 m(t)/t 呈高斯分布，其宽度随 t^{-1/2} 变化。