高斯自由场的统计重构与KT相变

在本文中，我们关注以下问题。设 $\phi$ 是 $\Lambda \subset \frac 1 n \mathbb{Z}^2$ 上的离散高斯自由场（GFF），并给定 $e^{iT \phi}$，或等价地给定 $\phi \pmod{\frac {2\pi} T}$。我们能否以 $o(1)$ 精度恢复 $\phi$ 的宏观可观测量？我们证明该统计重构问题经历如下 Kosterlitz-Thouless 型相变：-）若 $T<T_{rec}^-$ ，则可从 $\phi \pmod{\frac {2\pi} T}$ 的知识中完全恢复 $\phi$。在此 regime 下，我们的证明依赖于一种我们称之为退火 Peierls 论证的新型 Peierls 论证，其允许我们处理未知的淬火基态。-）若 $T>T_{rec}^+$，则不可能从 $\phi \pmod{\frac {2\pi} T}$ 的知识中完全恢复场 $\phi$。为证明此结果，我们将 Fr\"ohlich-Spencer 的去局域化定理推广到非均匀介质中整值 GFF 的情形。该去局域化结果具有独立意义，并在附录 B 中给出了我们将相关技术应用于{\em 随机相位 Sine-Gordon 模型}的实例。此外，证明过程中还揭示了与 Riemann-theta 函数的有趣联系。该统计重构问题受二维 XY 与 Villain 模型启发。事实上，在低温 $T$ 下，这些连续自旋系统的大尺度涨落被猜想由高斯自由场主导。进而自然要问，能否从 XY 或 Villain 模型自旋的观测中恢复潜在的宏观 GFF。本工作的另一动机在于，它为我们提供了一个经历 KT 相变的“可积模型”（GFF）。