压缩感知典型重建极限的统计力学分析

我们使用统计力学的副本方法，考察了基于最小化$L_p$范数$||bx||_p= \lim_{\epsilon \to +0} \sum_{i=1}^N |x_i|^{p+\epsilon}$，从$P$维线性变换$by=bF bx$中正确重建$N$维稀疏向量$bx=(x_i)$的典型性能。我们通过成功重建的临界关系来表征重建性能，该临界关系涉及比率$\alpha=P/N$和$bx$中非零元素的密度$\rho$，在$P,N \to \infty$且保持$\alpha \sim O(1)$并允许渐近可忽略的重建误差的极限下。我们证明，只要$bF^{\rm T}bF$能够渐近地由旋转不变随机矩阵系综表征，且$bF bF^{\rm T}$通常是满秩的，则临界关系$\alpha_c(\rho)$具有普适性。这支持了Donoho和Tanner (《Phil. Trans. R. Soc. A》，第367卷，第4273–4293页，2009年；arXiv: 0807.3590) 针对各种压缩矩阵系综所观察到的临界关系的普适性。