基于压缩随机测量的低秩层析统计分析

我们考虑利用随机基测量对低秩态进行“压缩”估计的统计问题，其中估计误差以两个度量表示——Frobenius 范数和量子不保真度。已知与一般全态层析不同，低秩态可以从减少的可观测量期望中识别出来。在此我们研究，对于固定的样本量 $N$，与“压缩”测量设置相关的估计误差是否“接近”于测量大量基的设置下的误差。就 Frobenius 范数而言，我们证明对于所有态，仅需 $O(r \log{d})$ 次随机基测量，误差即可达到最优速率 $rd/N$。我们提供了单量子比特的示例，并证明对于所有量子比特态，Frobenius 误差集中在其最优值附近。就量子不保真度而言，我们表明这种集中性并非在所有态上均匀存在。具体而言，我们证明对于接近纯态且靠近 Bloch 球面的态，平均不保真度以 $1/\sqrt{N}$ 标度，但随着设置数量的增加，常数收敛于零。这证明了在此度量下，近纯态缺乏“压缩”恢复能力。