最短队列优先服务策略的稳态分析

我们分析了所谓的最短队列优先（SQF）排队规则，即单一服务器并行处理队列，在任何时刻服务工作量最小的队列。考虑由两个并行队列组成的稳态系统，假设泊松到达和一般服务时间分布，我们首先建立了每个队列工作量的拉普拉斯变换所满足的函数方程。随后，我们将这些方程特化到所谓的“对称情况”，即每个队列具有相同的到达率和相同的指数服务时间分布；由此我们得到了一个关于未知函数 $M$ 的函数方程 $$M(z) = q(z) \cdot M \circ h(z) + L(z)$$，其中给定函数 $q$、$L$ 和 $h$ 与三次多项式方程的一个分支相关。我们研究了函数 $M$ 的解析域，并通过涉及函数 $h$ 所有迭代的级数展开来表示它。这使我们能够确定空队列概率以及每个队列工作量分布的尾部。该尾部似乎与头线抢占式优先系统的尾部相同，而这正是 SQF 规则所期望的关键特征。