C*-代数包含的稳定秩

当单元 C*-代数 $A$ 的拓扑稳定秩为 1（记作 $\tsr(A) = 1$）时，我们知道对于 $A$ 中的非零投影 $p$，有 $\tsr(pAp) \leq 1$。然而，当 $\tsr(A) \geq 2$ 时，这一结论通常不成立。我们证明：如果单元 C*-代数 $A$ 拥有一个具有共同单位元的简单单元 C*-子代数 $D$，使得 $D$ 具有性质 \PSP 且 $\sup_{p\in P(D)}\tsr(pAp) < \infty$，那么 $\tsr(A) \leq 2$。作为一个应用，设 $A$ 是一个满足 $\tsr(A) = 1$ 且具有性质 \PSP 的简单单元 C*-代数，$\{G_k\}_{k=1}^n$ 为有限群，$\af_k$ 是从 $G_k$ 到 ${\rm Aut}((...((A\times_{\af_1}G_1)\times_{\af_2} G_2)...)\times_{\af_{k-1}}G_{k-1})$ 的作用 $(G_0 = \{1\})$。则有 $$\tsr((... ((A\times_{\af_1}G_1)\times_{\af_2} G_2)...)\times_{\af_n}G_n) \leq 2.$$