正分次域的稳定性定理与 Lindel 的一个问题

给定一个维数 $d\geq 2$ 且 $\dim(R_0) \geq 1$ 的交换 Noether 分次域 $R = \bigoplus_{i\ge 0} R_i$，我们证明 $R$ 中任一长度为 $d+1$ 的单模行均可补成可逆矩阵 $\alpha$ 的首行，使得 $\alpha$ 同伦于单位矩阵。利用此结果我们确立：若 $I \subset R$ 为满足 $\mu(I/I^2) = \text{ht}(I) = d$ 的理想，则 $I/I^2$ 的任一生成元组可提升为 $I$ 的生成元组，其中 $\mu(-)$ 表示极小生成元个数。由此，任一秩为 $d$ 且行列式平凡的射影 $R$-模可分裂出一个秩为一的自由因子。这给出了 Lindel 一个老问题的肯定回答。最后，我们证明对任意秩为 $d$ 的射影 $R$-模 $P$，若 $P$ 的 Quillen 理想非零，则 $P$ 是可消去的。