同态、覆盖与上闭包的稳定性 II：例子、应用与开放问题

上边界展开（带 $\mathbb{F}_2$ 系数）及其变体在过去二十年中一直是深入研究的焦点。它被用于研究随机复形、性质测试，尤其是 Gromov 的拓扑重叠性质。在本文第一部分中，我们将上边界展开（及其变体）的概念推广到具有置换系数的上链，并配备归一化 Hamming 距离。我们表明这给出了研究复形覆盖稳定性以及群同态稳定性——一个近年来备受关注的主题——的统一语言。在这一部分中，我们将该理论推广到置换系数设定。这给出了一些新结果，即便对于 $\mathbb{F}_2$ 系数也是如此，开辟了若干新的研究方向，并暗示了证明非 sofic 群存在的模式。在此过程中，我们解决了 Gromov 一个问题的维数 $2$ 情形，展示了一族具有 $\mathbb{F}_2$ 系数的有界度上边界展开器。