相位恢复的稳定性：刻画条件数与最优向量集

本文主要通过考察映射 $\Phi_{\boldsymbol{A}}(\boldsymbol{x})=|\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}|\in \mathbb{R}_+^m$ 的双Lipschitz性质，重点分析相位恢复的稳定性，其中 $\boldsymbol{x}\in \mathbb{H}^d$，$\boldsymbol{A}\in \mathbb{H}^{m\times d}$ 是测量矩阵，$\mathbb{H}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$。我们定义条件数 $\beta_{\boldsymbol{A}}=\frac{U_{\boldsymbol{A}}}{L_{\boldsymbol{A}}}$，其中 $L_{\boldsymbol{A}}$ 和 $U_{\boldsymbol{A}}$ 分别表示最优的下界和上界Lipschitz常数。我们通过证明对于任意 ${\boldsymbol{A}}\in\mathbb{H}^{m\times d}$，有 \begin{equation*} \beta_{\boldsymbol{A}}\geq \beta_0^{\mathbb{H}}=\begin{cases} \sqrt{\frac{\pi}{\pi-2}}\,\,\approx\,\, 1.659 & \text{if $\mathbb{H}=\mathbb{R}$，}\\ \sqrt{\frac{4}{4-\pi}}\,\,\approx\,\, 2.159 & \text{if $\mathbb{H}=\mathbb{C}$。} \end{cases} \end{equation*} 建立了关于 $\beta_{\boldsymbol{A}}$ 的第一个通用下界。我们证明，对于实数和复数两种情况，$\mathbb{H}^{m\times d}$ 中标准高斯矩阵的条件数渐近地匹配下界 $\beta_0^{\mathbb{H}}$。这一结果表明常数下界 $\beta_0^{\mathbb{H}}$ 是渐近紧的，对于实数和复数情况均成立。作为该结果的一个应用，我们利用它来研究相位恢复的二次模型性能。最后，我们证明对于任意奇数 $m\geq 3$，调和框架 $\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{m\times 2}$ 在所有 $\boldsymbol{A}\in \mathbb{R}^{m\times 2}$ 中具有最小的条件数。我们相信这些发现对于增进我们对相位恢复的理解具有重要意义。