关于傅里叶相位恢复的稳定性

相位恢复关注从函数 $f$ 的傅里叶变换绝对值 $|\widehat{f}|$ 中恢复 $f$。我们研究该问题在 Lebesgue 空间中的稳定性性质。我们的主要结果表明 $$\| f-g\|_{L^2(\mathbb{R}^n)} \leq 2\cdot \| |\widehat{f}| - |\widehat{g}| \|_{L^2(\mathbb{R}^n)} + h_f\left( \|f-g\|^{}_{L^p(\mathbb{R}^n)}\right) + J(\widehat{f}, \widehat{g}),$$ 其中 $1 \leq p < 2$，$h_f$ 是一个依赖于 $f$ 光滑性的显式非线性函数，$J$ 是一个刻画平移不变性的显式项。一个值得注意的方面是，稳定性以 $L^p$（$1 \leq p < 2$）的形式表述，而通常 $L^p$ 不能用于控制 $L^2$，该稳定性估计具有逆 Hölder 不等式的特征。该估计在常数意义下似乎是最优的。