完美匹配相交族的稳定性

$K_{2n}$ 的一个完美匹配族被称为相交的，如果其任意两个成员有一条公共边。已知若 $\mathcal{F}$ 是 $K_{2n}$ 的相交完美匹配族，则 $|\mathcal{F}| \leq (2n-3)!!$，且若取等号，则 $\mathcal{F} = \mathcal{F}_{ij}$，其中 $\mathcal{F}_{ij}$ 是 $K_{2n}$ 中所有包含某固定边 $ij$ 的完美匹配族。在本注记中，我们证明极值族是稳定的，即对任意 $\epsilon \in (0,1/\sqrt{e})$ 和 $n > n(\epsilon)$，任何大小大于 $(1 - 1/\sqrt{e} + \epsilon)(2n-3)!!$ 的相交完美匹配族都包含于某个边 $ij$ 对应的 $\mathcal{F}_{ij}$ 中。证明使用了 Gelfand 对 $(S_{2n},S_2 \wr S_n)$ 以及 Ellis 的等周方法。