松鼠记性有点差：由离散时间更新过程诱导的带跳跃反转的随机游走
概率论
2023-01-04 v3
摘要
我们考虑一类在整数线上具有有向单位步长的离散时间随机游走。步长方向在离散时间更新过程的事件时刻发生反转，而在非事件时刻保持不变。该模型代表了电报过程的离散时间半马尔可夫推广。我们利用生成函数推导了传播子的精确公式。我们证明了在扩散极限下，对于几何分布的等待时间，该游走收敛于经典电报过程。我们考虑了期望位置的长时间渐近：对于具有有限均值的等待时间密度，游走者在平均意义上停留在出发位置附近局域化，而对于重尾等待时间密度（即具有无穷均值的密度）则以亚线性幂律逃逸。我们通过考虑“老化效应”作为非马尔可夫性的标志来探索反常扩散特征，其中“老化更新过程”的离散时间版本发挥作用。通过推导该过程的相关分布，我们得到了当等待时间为 Sibuya 分布时方差的显式公式。在此情形以及一般而言对于重尾等待时间概率密度函数，在长时间极限下出现 -弹道超扩散标度。相反，若步长反转间的等待时间概率密度函数为轻尾（“窄”的，具有有限均值与方差），则该游走呈现正常扩散；而对于“宽”等待时间概率密度函数（具有有限均值与无穷方差）则呈现超扩散长时间标度。我们还考虑了时间改变版本，其中游走从属于连续时间点过程（如时间分数阶 Poisson 过程）。这定义了一类展现多种反常扩散机制的偏置连续时间随机游走。
引用
@article{arxiv.2206.14694,
title = {Squirrels can remember little: A random walk with jump reversals induced by a discrete-time renewal process},
author = {Thomas M. Michelitsch and Federico Polito and Alejandro P. Riascos},
journal= {arXiv preprint arXiv:2206.14694},
year = {2023}
}