球面向量与单位四元数的几何解释

在本文中，我们引入并研究了$\textit{球面向量}$的概念，它可视为复数辐角在四元数背景下的自然推广。我们首先建立这些特殊向量的基本性质，随后通过结构迁移证明球面向量构成一个非交换加法群，且与单位四元数群同构。这一识别有助于给出四元数的一种新颖极坐标形式，凸显其代数性质以及指数写法的代数性质。此外，它使得单位四元数可在$\mathbb{R}^3$的单位球上表示，从而允许对其乘法给出几何解释。