关于由均值曲率规定的外部超定 Neumann 问题的球面刚性

我们研究了由 F. Morabito 在 $\mathbb{R}^N$ 中的外部域 (N ≥ 2) 所提出的椭圆型自由边界超定问题 [Comm. PDE 46 (2021), 1137-1161]。该超定条件将 Neumann 数据规定为边界均值曲率的倍数，参数为 $\Gamma$，并伴随球面兼容条件。对于 N ≥ 3，我们证明当 $\Gamma \geq N-2$ 时，球面解在凸域中的刚性；在边界情形 $\Gamma = N-2$ 中，可去除凸性假设，刚性成立于所有有界域中。该证明结合了 Pohozaev 恒等式、几何恒等式以及 Agostiniani 和 Mazzieri 对 capacitary potentials 的锐边界不等式。我们还通过 Serrin 的平面移动方法，在 $\Gamma \leq 0$ 时取得有界域中的刚性。在二维情况下，单位圆是所有 $\Gamma$ 值下唯一可接受的域。