旋转 Kerr 黑洞的球状零测地线

本文对旋转 Kerr 黑洞的非赤道球状零测地线进行了分析研究。与半径已有解析解的广泛研究的赤道圆轨道不同，文献中尚不存在通用（非赤道）球状测地线半径的闭式公式。我们在此提供了这些球状零测地线半径 $r_{ph}(a/M;\cos i)$ 的近似公式，其中 $a/M$ 是黑洞的无量纲角动量，$\cos i$ 是轨道相对于黑洞赤道面的有效倾角。众所周知，Kerr 时空中的赤道圆测地线（$\cos i=\pm 1$ 的顺行和逆行轨道）的特征是其半径 $r_{ph}(a/M;\cos i=\pm 1)$ 单调依赖于黑洞的无量纲自旋参数 $a/M$。我们利用此处提出的新颖解析公式揭示，这一赤道圆测地线的熟知性质实际上并非 Kerr 时空的通用性质。特别是，我们发现位于 $(3\sqrt{3}-\sqrt{59})/4 \lesssim \cos i<0$ 范围内的反向旋转球状零轨道，其 $r_{ph}(a/M;\cos i=\text{const})$ 对黑洞无量纲旋转参数 $a/M$ 呈现非单调依赖关系。此外，研究表明快速旋转黑洞的球状光子轨道具有一个临界倾角 $\cos i=\sqrt{4/7}$，超过该角度时，轨道的坐标半径在极端极限下趋近于黑洞半径。我们证明了该临界倾角标志着球状零测地线物理性质的转变：特别是，它区分了那些具有到黑洞视界有限固有距离的轨道与具有到视界无限固有距离的轨道。