球面与平面滚珠轴承——具有不变测度的非完整系统

我们首先构造由 $n$ 个同质球 $\mathbf B_1,\dots,\mathbf B_n$（中心为 $O_1,...,O_n$，半径同为 $r$）组成的非完整系统，这些球在无滑动情况下绕中心为 $O$、半径为 $R$ 的固定球 $\mathbf S_0$ 滚动。此外，假设一个动态非对称、半径为 $R+2r$ 且中心与固定球 $\mathbf S_0$ 中心 $O$ 重合的球 $\mathbf S$ 在这些运动球 $\mathbf B_1,\dots,\mathbf B_n$ 上无滑动地滚动。我们证明这些系统具有不变测度。作为第二项任务，我们考虑半径 $R$ 趋于无穷时的极限。我们得到相应的平面问题：由 $n$ 个中心为 $O_1,...,O_n$、半径同为 $r$ 的同质球 $\mathbf B_1,\dots,\mathbf B_n$ 在固定平面 $\Sigma_0$ 上无滑动滚动，以及一个在平面上无滑动地越过这些同质球运动的平面 $\Sigma$。我们证明该系统具有不变测度，并且根据 Euler-Jacobi 定理可经求积积分。