通过经典多体系统求解量子转移矩阵谱

本文阐明了非均匀量子自旋链与经典可积多体系统之间的关系。它提供了一种替代（嵌套 Bethe 拟设）的计算自旋链谱的方法。具体而言，具有扭曲边界条件的 $N$ 格点非均匀 ${\mathfrak g}{\mathfrak l}_n$-不变 XXX 自旋链的量子转移矩阵谱，可以用有理 $N$ 体 Ruijsenaars-Schneider 模型中粒子的速度来表示。速度的可能取值需从经典模型相空间中两个 Lagrangian 子流形的交点求得。其中一个是与所有 $N$ 个粒子固定坐标对应的 Lagrangian 超平面，另一个是通过固定 $N$ 个对合经典 Hamiltonian 的能级而获得的 $N$ 维 Lagrangian 子流形，后者由扭曲矩阵的本征值确定。为支持这一图像，我们给出了直接证明：当将粒子速度替换为通过 Bethe 方程计算的自旋链 Hamiltonian 本征值时，经典 Ruijsenaars-Schneider 模型 Lax 矩阵的本征值与扭曲矩阵的本征值（具有特定的重数）一致。我们还证明了关于具有 $N$ 个标记点的 ${\mathfrak g}{\mathfrak l}_n$ Gaudin 模型（量子侧）和具有 $N$ 个粒子的 Calogero-Moser 系统（经典侧）的类似结论。文中也讨论了所得结果在膜和超对称规范理论中的实现。