$T$掺杂随机Clifford电路的谱性质与魔术生成

我们研究了深度随机 $N$ 量子比特 $T$ 门掺杂Clifford电路在谱性质和魔术生成方面的复杂度表现，后者分别体现在稳定子熵分布和电路的非稳定化能力上。对于纯（未掺杂）Clifford电路，Pauli字符串空间中存在唯一的周期轨道结构，导致特殊的谱相关性和具有大量简并性的水平统计。$T$门掺杂可导致向混沌行为的指数级迁移，描述为随机矩阵理论。我们将这些复杂度指标与Clifford+$T$ 组合的魔术生成特性进行比较，确定魔术的分布以及量子电路组合的平均非稳定化能力。在疏稀极限中，$N_T \ll N$，魔术生成由单量子比特行为主导。魔术以近似量子形式生成，随 $T$门数量 $N_T$ 约线性增长，并在小 $N_T$ 时显示离散分布。当 $N_T\approx N$ 时，分布趋于准连续；当 $N_T\gg N$ 时，其收敛于Haar随机算子的分布，并平均为有限魔术密度 $m_2$，即 $\lim_{N\to\infty} \langle m_2 \rangle_\text{Haar} = 1$。这与谱转变不同，后者仅需 ${\cal O} (1)$ 个 $T$门即可消除谱简并性，使热力学极限下的能级统计迁移到混沌行为。因此，魔术是更敏感的复杂度指示器。