Bloch-Torrey 算子的谱分支点

我们研究非厄米算子的特殊特征，即谱分支点（也称为例外点或能级交叉点）的存在，在分支点处两个（或多个）本征模塌缩到单个本征模上，从而失去其完备性。此类分支点是普遍的，并在算子的谱中产生非解析性，这进而导致基于本征值和本征模的微扰展开具有有限收敛半径，即使对于厄米算子也可能相关。我们从教学性介绍这一现象开始，考虑 $2\times 2$ 矩阵的情形，并解释如何将更一般的微分算子的分析化简到该情形。我们提出一种高效的数值算法来寻找复平面中的谱分支点。然后采用该算法展示 Bloch-Torrey 算子 $-\nabla^2 - igx$ 的谱中谱分支点的出现，该算子支配扩散和进动下核磁化的时间演化。我们讨论了它们的数学性质以及对一般有界域中扩散核磁共振实验的物理含义。