$\mathbf{R}^3$ 中不可压缩黏性 Rayleigh-Taylor 系统的谱分析

在层流光滑递增密度剖面 $\rho_0(x_3)$ 邻域内对黏性 Rayleigh-Taylor 模型进行线性不稳定性研究，等价于研究如下四阶常微分方程：\begin{equation}\label{MainEq} -\lambda^2 [ \rho_0 k^2 \phi - (\rho_0 \phi')'] = \lambda \mu (\phi^{(4)} - 2k^2 \phi'' + k^4 \phi) - gk^2 \rho_0'\phi, \end{equation} 其中 $\lambda$ 为时间增长率，$k$ 为垂直于密度剖面的波数。在 $\rho'_0\geq 0$ 且具有紧支集的情形下，我们给出谱分析，表明与 \cite{HL03} 的结果一致，存在无穷列非平凡解 $(\lambda_n, \phi_n)$，且当 $n\rightarrow +\infty$ 时 $\lambda_n\rightarrow 0$，$\phi_n\in H^4(\mathbf{R})$。在更一般的情形 $\rho_0'>0$ 处处成立且 $\rho_0$ 在 $\pm\infty$ 处收敛于有限极限 $\rho_{\pm}>0$ 时，我们证明存在有限个非平凡解 $(\lambda_n, \phi_n)$。研究思路是将两种情形均化为紧集上算子的研究。