细分 - 顶点冠图与细分 - 边冠图的谱

图 $G$ 的细分图 $\mathcal{S}(G)$ 是通过在 $G$ 的每条边中插入一个新顶点而得到的图。设 $G_1$ 和 $G_2$ 为两个顶点不相交的图。$G_1$ 和 $G_2$ 的\emph{细分 - 顶点冠图}（记为 $G_1\odot G_2$）是从 $\mathcal{S}(G_1)$ 和 $|V(G_1)|$ 个 $G_2$ 的副本（全部顶点不相交）出发，将 $V(G_1)$ 的第 $i$ 个顶点连接到 $G_2$ 的第 $i$ 个副本中的每个顶点而得到的图。$G_1$ 和 $G_2$ 的\emph{细分 - 边冠图}（记为 $G_1\circleddash G_2$）是从 $\mathcal{S}(G_1)$ 和 $|I(G_1)|$ 个 $G_2$ 的副本（全部顶点不相交）出发，将 $I(G_1)$ 的第 $i$ 个顶点连接到 $G_2$ 的第 $i$ 个副本中的每个顶点而得到的图，其中 $I(G_1)$ 是 $\mathcal{S}(G_1)$ 中插入顶点的集合。本文根据 $G_1$ 和 $G_2$ 的相应谱，确定了 $G_1\odot G_2$（分别为 $G_1\circleddash G_2$）的邻接谱、Laplacian 谱和无符号 Laplacian 谱。作为应用，关于 $G_1\odot G_2$（分别为 $G_1\circleddash G_2$）谱的结果使我们能够构造无穷多对同谱图。$G_1\odot G_2$（分别为 $G_1\circleddash G_2$）的邻接谱帮助我们构造了许多无穷族的整图。利用 Laplacian 谱，我们还分别获得了 $G_1\odot G_2$ 和 $G_1\circleddash G_2$ 的生成树数量和 Kirchhoff 指数。