特殊拉格朗日光滑化、Calabi 拟设与稳定性条件

作为其关于具有孤立锥形奇点的特殊拉格朗日子流形工作的一部分，Joyce 证明了一个关于两个具有相同相位且横截相交的连通、紧致、嵌入的特殊拉格朗日子流形之并，沿复结构的小变化存在特殊拉格朗日光滑化的判据。在此，我们构造了无穷多对非紧致、嵌入的、具有相同相位和任意维数、仅在无穷远处以非横截方式相交的特殊拉格朗日子流形的例子，它们满足 Joyce 的判据：沿复结构的小变化，在满足全纯体积形式周期的斜率不等式的稳定轨迹上，存在其并的特殊拉格朗日光滑化。至少在自然对称性假设下，该斜率不等式对于此类光滑化的存在也是必要的。我们的方法利用了 Leung-Yau-Zaslow 变换以及 Jacob 和 Sheu 对具有 Calabi 拟设的变形厄米特-杨-米尔斯联络的分析。在不稳定情形下，我们证明，如果一族在自然 Calabi 对称平均曲率流（由 Chan 和 Jacob 提出）下演化的拉格朗日光滑化存在极限，则该极限必为原始特殊拉格朗日子流形的并。作为一个应用，我们证明，在我们的二维例子中，特殊拉格朗日光滑化存在的条件实际上等价于Fukaya-Seidel范畴中相应对象关于从代数几何引入的已知Bridgeland稳定性条件的稳定性，并且在不稳定情形下，我们结果中Calabi对称平均曲率流的极限与Harder-Narasimhan分解一致，这与Joyce的一个普遍猜想相符。类似（尽管较弱）的结果在三维中也成立。