广义 Verma 模之间同态的特殊类：以 ${\mathcal U}_q(su(n,n))$ 为例

我们研究量化广义 Verma 模之间的同态 $M(V_{\Lambda})\stackrel{\phi_{\Lambda,\Lambda_1}}{\rightarrow}M(V_{\Lambda_1})$，针对 ${\mathcal U}_q(su(n,n))$。此类映射有自然的次数概念，若映射次数为 $k$，我们记为 $\phi^k_{\Lambda,\Lambda_1}$。我们考察何时可有一系列这样的同态 $\phi^1_{\Lambda_{n-1},\Lambda_{n}} \circ \phi^1_{\Lambda_{n-2}, \Lambda_{n-1}} \circ\cdots\circ \phi^1_{\Lambda,\Lambda_1} = \textrm{Det}_q$，其中 $\textrm{Det}_q$ 表示映射 $M(V_{\Lambda})\ni p\rightarrow \textrm{Det}_q\cdot p\in M(V_{\Lambda_n})$。若经典地有 $su(n,n)^{\mathbb C}={\mathfrak p}^-\oplus(su(n)\oplus su(n)\oplus {\mathbb C})\oplus {\mathfrak p}^+$，则 $\Lambda = (\Lambda_L,\Lambda_R,\lambda)$ 且 $\Lambda_n =(\Lambda_L,\Lambda_R,\lambda+2)$。答案是 $\Lambda$ 必须是单侧的，即 $\Lambda_L=0$ 或 $\Lambda_R=0$（非互斥）。若我们要求 ${\mathcal U}_q({\mathfrak g}^{\mathbb C})$ 同态，则对 $\lambda$ 有进一步要求。然而，将其放宽到仅考虑 ${\mathcal U}^-_q({\mathfrak g}^{\mathbb C})$ 同态也很有趣，此时关于 $\lambda$ 的条件消失。由对偶性，所得结果对协变量化微分算子有影响。最后我们给出 ${\mathcal U}_q({\mathfrak g}^{\mathbb C})$ 同态 $\phi^1_{\Lambda,\Lambda_1}$ 全集的明确但概略的判定。