稀疏矩阵分解与图刻画

正定矩阵$A$中的零（即稀疏性）在何种情况下会在其 Cholesky 分解中得以保留，反之亦然，这一问题已由 Paulsen 等人发表在《泛函分析杂志》(85, pp151-178) 中探讨。特别是，他们证明了若要在$A$的 Cholesky 分解中保留$A$中的零模式，$A$中的零模式必须必然对应于与特定类型顶点排序相关联的弦图（或可分解图）。因此，该结果利用稀疏正定矩阵对弦图进行了刻画。这一结果在马尔可夫随机场的概率与统计分析中也极为有用，其中正定相关矩阵中的零与随机独立性概念密切相关。现在，考虑正定矩阵$A$及其 Cholesky 分解$A = LDL^T$，其中$L$是单位对角线元素的下三角矩阵，$D$是正对角线元素的对角矩阵。在本文中，我们证明了正定矩阵$A$中的零（即稀疏性）在其关联的 Cholesky 矩阵$L$中得以保留，并且同时在 Cholesky 矩阵的逆$L^{-1}$中也得以保留的充要条件是：零模式对应于与特定类型顶点排序相关联的共弦图或齐性图。我们进而利用对应于图中团（cliques）的子矩阵行列式，提供了该类图的第二个刻画。这些结果丰富了稀疏矩阵分解领域的文献，并证明了它们是分析一类重要马尔可夫随机场的概率分析中的关键要素。