低秩对称半正定矩阵的稀疏分解

假设 $A \in \mathbb{R}^{N \times N}$ 是一个秩为 $K \le N$ 的对称半正定矩阵。我们的目标是将 $A$ 分解为 $K$ 个秩一矩阵 $\sum_{k=1}^K g_k g_k^T$，其中模态 $\{g_{k}\}_{k=1}^K$ 要求尽可能稀疏。与特征分解不同，这些稀疏模态不要求正交。此类问题出现在随机场参数化中，其中 $A$ 是协方差函数，通常难以求解。本文中，我们将从 1 到 $N$ 的指标划分为若干分片，并提出用向量在其上非零的分片数量来量化其稀疏性，称为分片稀疏度。我们的目标是找到使分解模态的总分片稀疏度最小化的分解。我们提出一种区域分解型方法，称为本征稀疏模态分解 (ISMD)，遵循“局部模态构建 + 拼接”的过程。ISMD 的关键步骤是通过联合对角化问题构建本征稀疏模态的局部片段。随后利用选主元 Cholesky 分解将这些局部片段粘合在一起。在所谓的正则稀疏假设（见定义 1.2）下，证明了最优稀疏分解、与不同区域分解的一致性以及对小扰动的鲁棒性。我们提供仿真结果以展示 ISMD 的效率和鲁棒性。我们还将 ISMD 与其他现有方法进行了比较，例如特征分解、选主元 Cholesky 分解以及稀疏主成分分析的凸松弛 [25] 和 [40]。