通过矩阵分解看图正则性的统一视角
数据结构与算法
2025-05-30 v5 组合数学
摘要
我们为文献中几类稀疏图证明了算法弱正则引理与 \Szemeredi{} 正则引理,这些图此前仅已知弱正则引理。这包括核稠密图、低阈值秩图以及(一种版本的) 上正则图。更确切地说,我们定义\emph{割伪随机图},为这些图证明我们的正则引理,然后证明割伪随机性将上述所有图类作为特例囊括。我们方法的核心是一个抽象的矩阵分解,大致遵循 Frieze 和 Kannan [Combinatorica '99] 以及 \Lovasz{} 和 Szegedy [Geom.\ Func.\ Anal.\ '07],其可由 Charikar [AAC0 '00] 的简单算法计算。这给出了割伪随机图类,并利用 Oveis Gharan 和 Trevisan [TOC '15] 的工作,也意味着对显著扩展的输入图类有了新的 MAX-CUT、MAX-BISECTION、MIN-BISECTION 的 PTAS(一般而言对这些图获得 PTAS 是 NP 难的)。
引用
@article{arxiv.1911.11868,
title = {A Unified View of Graph Regularity via Matrix Decompositions},
author = {Greg Bodwin and Santosh Vempala},
journal= {arXiv preprint arXiv:1911.11868},
year = {2025}
}