稀疏过滤 Nerve

给定欧氏空间中的点云$P$与正参数$t$，可考虑$P$的$t$-邻域$P^{t}$，即到$P$距离小于$t$的点构成的集合。$P^{t}$的同调给出了关于$P^{t}$中连通分支、洞、空腔等的信息。持续同调的思想在于，我们可能关注空间$P^t$中的某些洞，它们不能在单一$t$值下的同调中同时被检测到，但其中每个洞在较宽范围的$t$内均可被检测到。当周边欧氏空间维数较小时，持续同调可由$\alpha$-复形高效计算。对于大于三维的维数，这变得耗费资源。Don Sheehy发现存在一个过滤单纯复形，其大小线性依赖于$P$的基数，且其持续同调是过滤拓扑空间$\{P^{t}\}_{t \ge 0}$的持续同调的近似。本文沿循Sheehy的稀疏化思路，给出一种更一般的过滤单纯复形稀疏化方法，用于计算形如$\{P^{t}\}_{t \ge 0}$的过滤空间的同调，更一般地用于过滤Dowker nerve的稀疏化。据我们所知，这是首个针对一般Dowker nerve稀疏化的方法。