完全 $k$-部几何图的生成子图

我们研究如下问题：给定顶点集为 $\mathbb{R}^d$ 中 $n$ 个点的完全 $k$-部几何图 $K$，计算 $K$ 的一个生成子图（spanner），使其具有“较小”的拉伸因子和“较少”的边数。针对该问题，我们提出了两种算法。第一种算法在 $O(n \log n)$ 时间内计算出一个具有 $O(n)$ 条边的 $(5+\epsilon)$-生成子图。第二种算法在 $O(n \log n)$ 时间内计算出一个具有 $O(n \log n)$ 条边的 $(3+\epsilon)$-生成子图。后一结果是最优的：我们证明了对于任意 $2 \leq k \leq n - \Theta(\sqrt{n \log n})$，对于所有完全 $k$-部几何图，不存在边数为 $O(n \log n)$ 且拉伸因子小于 3 的生成子图。