关于二元二次多项式表示自然数的一些结果

我们考虑形如$p_j (x,y) = (10 x+m_j)(10 y + n_j),\,x\geq 0, y\geq0$, $j=1,2,3$的一组方程,其中分别有$\{m_1=7, n_1=3\}$、$\{m_2=n_2=9\}$和$\{m_3=n_3=1\}$。我们证明:若$(a(p_j),b(p_j)) \in N \times N$是第$j$个方程的一个解,则有不等式$\frac{p_j}{100}\leq A(p_j) B(p_j) \leq \frac{121}{10^4} p_j$,其中$A(p_j)\equiv a(p_j)+1, B(p_j)\equiv b(p_j)+1\,$,且$p_{j}$是以1结尾的自然数,并分别满足$\{A(p_1)\geq 4, B(p_1)\geq 8\}$、$\{A(p_2) \geq 2, B(p_2)\geq 2\}$和$\{A(p_3) \geq 10, B(p_3)\geq 10\}$。此外,基于前述结果我们证明:$1\leq ( \frac{A(p_j+10) B(p_j+10)}{A(p_j) B(p_j)})^{1/100} \leq e^{0,000201} x (1+ \frac{10}{p_j})^{(0,101)^2}$,并分别满足$\{A(p_1)\geq 31, B(p_1)\geq 71\}$、$\{A(p_2) \geq 11, B(p_2)\geq 11\}$和$\{A(p_3) \geq 91, B(p_3)\geq 91\}$。最后,针对由$p_j = (10 A+m_j)(10 B + n_j)$定义的方程,我们分别给出每种情形$j=1,2,3$下相关正整数解的上界与下界。