基于 Mittag-Leffler 等待时间的更新过程的若干概率性质及其时间变换版本

本文获得了由 Beghin 和 Orsingher (2010) 引入的更新过程 $\{\hat{N}_{\alpha}(t)\}_{t\ge0}$（$0<\alpha\le 1$）的若干附加概率性质。通过与分数阶扩散方程的分布相关的随机时间过程 $\{T_{2\alpha}(t)\}_{t>0}$，建立了 $\{\hat{N}_{\alpha}(t)\}_{t\ge0}$ 与其特例 $\{\hat{N}(t)\}_{t\ge0}$ 之间的时间变换关系。我们计算了其各种分布性质，如方差、阶乘矩、矩生成函数、矩、拉普拉斯域中的协方差等。我们证明了 $\{\hat{N}_{\alpha}(t)\}_{t\ge 0}$ 及其幂次与其均值之比依概率收敛于 1。此外，我们推导了其二元分布的积分形式，并描述了其边缘分布的缩放极限。我们还证明其一维分布不是无限可分的。此外，我们研究了 $\{\hat{N}_{\alpha}(t)\}_{t\ge 0}$ 的复合版本，并讨论了其在破产理论中的应用。随后，我们考虑了 $\{\hat{N}_{\alpha}(t)\}_{t\ge 0}$ 的两种时间变换版本，分别通过独立的 Lévy 上升过程及其逆过程对其进行时间变换得到。对这些时间变换过程的若干分布性质和示例进行了讨论。