Ramsey 理论中的一些新对称结构

在本文中，我们将利用最近在 \cite{key-4} 中引入的整数集上的 $\ostar_{l,k}$-运算，研究 Ramsey 理论中的若干新构型。该运算可用于研究整数集中的对称结构，例如其最简单情形下的形如 $\left\{ x,y,x+y+xy\right\}$ 的单色构型。在 \cite{key-4} 中，作者研究了更一般的对称结构。已有结果表明，Hindman 定理、van der Waerden 定理、Deuber 定理均有其各自的对称版本。在本文中，我们将探索若干新结构，包括这些对称结构的多项式版本及其某些变体。作为结果，我们得到了若干新的对称多项式构型以及新的线性对称模式。在最后一节中，我们还将引入非负整数集 $\mathbb{N}$ 上的两个新运算，以获得进一步的新构型。