两种度量理论的一些宇宙学应用

在引力理论中考虑尺度不变性，其作用量在第一形式下为 $S = \int L_{1} \Phi d^4x + \int L_{2}\sqrt{-g}d^4x$，其中 $\Phi$ 是由独立于度规的自由度构建的密度。对于全局尺度不变性，必须引入一个“微分弥散” $\phi$，其势函数分别为 $V(\phi)=f_{1}e^{\alpha\phi}$ 在 $L_1$ 中和 $U(\phi) = f_{2}e^{2\alpha\phi}$ 在 $L_2$ 中。在有效的爱因斯坦坐标系中，这导致一个森克型的非平凡 $\phi$ 势函数，其在 $\phi \to \infty$ 时具有能量密度为 $f_{1}^{2}/4f_{2}$ 的平坦区域。加入 $R^{2}$ 项后，可得到具有两个相互连接的平坦区域的有效势函数：一个对应普朗克尺度，可用于解释早期膨胀，另一个用于描述当前宇宙。