时空体积元和标度不变性

我们在引力理论中考虑标度不变性，其中作用量在第一形式形式下为 $S = \int L_{1} \Phi d^4x$ + $\int L_{2}\sqrt{-g}d^4x$，其中体积元 $\Phi d^4x$ 与度规无关。对于整体标度不变性，需要引入一个“膨胀子”$\phi$，在 $L_1$ 中具有非平凡势 $V(\phi)$ = $f_{1}e^{\alpha\phi}$，在 $L_2$ 中具有 $U(\phi)$ = $f_{2}e^{2\alpha\phi}$。这导致了非平凡的质量生成和 $\phi$ 的势，这对于暴胀是有意义的。从暴胀到晚期缓慢加速宇宙的自然过渡的内插模型自然出现。这也适用于“quintessence 模型”，它们是标度不变的，但仅使用体积元 $\Phi d^4x$ 来表述。对于闭弦和膜（包括超对称情况），修改的测度表述是可能的，并且不需要从一开始就引入特定的标度（弦张力或膜张力），而是这些作为积分常数出现。